Почему говорится на кухне?

На кухне - данное словосочетание является устоявшимся оборотом, которое широко употребляется в русском языке. Фактически означает "находиться в кухне, как в комнате". Аналогично устоялись выражения: работать на поле, на заводе, служить на флоте, ездить на машине и др.

В кухне - то же, что и "на кухне", однако в живом языке употребляется реже. Контекст данного словосочетания может подчеркивать действие, которое происходит "в кухне", как в помещении.

Предлоги "в" и "на" равноправны только в первом значении слова "кухня" - помещение для приготовления пищи. При использовании второго и третьего значения необходимо отталкиваться от других членов предложения.

Таким образом, правильно употреблять фразы "готовить в (на) кухне", "зайти в (на) кухню", "пригласить на французскую кухню", "посвятить в свою кухню" в зависимости от контекста.